Das Buch bietet eine praxisorientierte Einführung in die mathematischen Methoden der Elektrotechnik. Der Schwerpunkt liegt auf der Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen mittels analytischer und numerischer Methoden. Dabei werden die analytischen Methoden den numerischen gegenübergestellt. Die Differenzialgleichungen wurden mit Blick auf die Problemstellungen der Elektrotechnik gewählt. Gezeigt wird, wie diese beispielsweise auch auf die Mechanik übertragen werden können. Zahlreiche Beispiele und Aufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen erleichtern den Transfer des Wissens in die Anwendungen.

Als Entwicklungsingenieur bei Fa. Robert Bosch GmbH in Stuttgart war der Autor in einer Simulationsgruppe mit Simulationen mechatronischer Systeme beschäftigt. Einem Wechsel in die Forschungsabteilung folgte eine Industriepromotion. 2007 kam die Berufung zum Professor an den Studiengang Elektrotechnik der Reinhold-Würth Hochschule, Campus Künzelsau.

1 Erforderliche mathematische Grundlagen 1 1.1 Matrizen 1 1.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen 2 1.1.2 Addition und Subtraktion zweier Matrizen 2 1.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 2 1.1.4 Quadratische Matrix 3 1.1.5 Einheitsmatrix 3 1.1.6 Determinante 3 1.1.7 Unterdeterminante oder Minor 5 1.1.8 Adjunkte oder algebraisches Komplement 5 1.1.9 Inverse Matrix 6 1.1.10 Transponierte einer Matrix 7 1.1.11 Komplex konjugierte Matrix 7 1.1.12 Hermitesche konjugierte Matrix 8 1.1.13 Hermitesche Matrix – selbstadjungierte Matrix 9 1.1.14 Orthogonalmatrix 9 1.1.15 Unit¨ are Matrix 10 1.1.16 Normalmatrix – Normale Matrix 11 1.1.17 Norm einer Matrix 11 1.1.18 Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl 12 1.1.19 Eigenwert, Eigenvektor 13 1.1.20 Quadratische Matrizen – eine Zusammenfassung 15 1.2 Integral-, Di erenzialgleichungen 17 1.2.1 Definitionen 17 1.2.2 Di erenzierung skalarer Funktionen 18 1.2.3 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen höherer Ordnung 18 1.2.4 Partielle Di erenzialgleichungen 20 1.2.5 Partielle Integration 22 1.2.6 Klassifikation von Di erenzialgleichungen 22 1.2.7 Anfangswertaufgabe 23 1.2.8 Randwertaufgabe 24 1.2.9 Lineare Operatoren 25 1.2.10 Inneres Produkt 27 1.2.11 Starke Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung 30 1.2.12 Schwache Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung 30 1.3 Vektor-Klassifikation 31 1.4 Di erenziationsregeln für Vektoren 31 1.5 Vektoroperatoren 32 1.5.1 Nabla-und Laplace-Operator 32 1.5.2 Vektoroperator Gradient 33 1.5.3 Vektoroperator Divergenz 34 1.5.4 Vektoroperator Rotation 35 1.5.5 Gegenüberstellung der Vektoroperatoren 35 1.5.6 Rechenregeln f¨ ur den Nabla-Operator 36 1.5.7 Gegenüberstellung Skalar- und Vektorprodukt 37 1.6 Maxwell’sche Gleichungen 38 1.6.1 Beziehung zwischen Kreis- und Flächenintegral 38 1.6.2 Beziehung zwischen Flächen- und Volumenintegral 39 1.6.3 Maxwell’sche Gleichungen – Di erenzialform 40 1.6.4 Maxwell’sche Gleichungen – Integralform 40 1.6.5 Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder 40 1.7 Dirac’sche Deltafunktion 41 2 Koordinatensysteme 43 2.1 Kartesisches Koordinatensystem 43 2.2 Zylinderkoordinatensystem 45 2.3 Kugelkoordinatensystem 47 3 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis 51 3.1 Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen 51 3.2 Eigenfrequenz – Fehlerrechnung 55 3.3 Spannungsverläufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation 56 3.3.1 Spannungsverlauf über der Induktivität 57 3.3.2 Spannungsverlauf über Induktivität und Widerstand 59 3.3.3 Spannungsverlauf über dem Widerstand 61 3.3.4 Spannungsverlauf +ber der Kapazität 62 3.4 Gedämpfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis 64 3.5 Gedämpfter, freier LCR-Reihenschwingkreis 67 3.6 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis 69 3.7 Gedämpfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis 70 3.8 Gedämpfter, freier LCR-Parallelschwingkreis 76 3.9 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis 79 4 Stromverdrängung im Leiter 81 4.1 Stromverdrängung im Leiter – Modellbildung 82 4.2 Stromverdrängung im Leiter – Berechnungsergebnis 86 4.3 Stromverdrängung im Leiter – Simulationsergebnis 87 4.4 Stromverdrängung im Leiter – Zusammenfassung 89 5 Besselgleichung und Besselfunktion 91 5.1 Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel 92 5.2 Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises 93 5.3 Besselgleichung der Felddi usionsgleichung 94 5.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator 97 5.4.1 Modellanordnung 97 5.4.2 Herleitung der Besselfunktion 98 5.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule 101 5.5.1 Modellanordnung 101 5.5.2 Herleitung der Besselfunktion 101 5.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung 104 6 Lösung von Di erenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen 109 6.1 Zur Person George Green 109 6.2 Green’sche Integralsätze 112 6.3 PDE – Auf-, Integrationspunktanordnungen 114 6.4 PDE – Vorbereitung zur Lösung nach Green – Di erenzialform 116 6.5 PDE – Vorbereitung zur Lösung nach Green – Integralform 118 6.5.1 Umstellen der PDE nach der zu lösenden Variable 118 6.5.2 Homogene Randbedingungen 120 6.5.3 Inhomogene Randbedingungen 121 6.5.4 Dirichlet-Randbedingungen 121 6.5.5 Neumann-Randbedingungen 121 6.6 PDE – Lösung der Poisson’schen DGL 122 6.6.1 Aufgabenbeschreibung 122 6.6.2 Lösungsweg 123 6.7 PDE – Lösung der Laplace’schen DGL 125 6.7.1 Aufgabenbeschreibung 125 6.7.2 Lösungsweg 126 6.8 ODE – Vorbereitung zur Lösung mit der Green’schen Funktion 128 6.8.1 Homogene Randbedingungen 130 6.8.2 Inhomogene Randbedingungen 130 6.8.3 Kontinuitäts- und Diskontinuitätsbedingungen 131 6.9 ODE – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 133 6.9.1 Aufgabenbeschreibung 133 6.9.2 Lösungsweg I 134 6.9.3 Lösungsweg II 137 6.10 ODE – Lösung von d2 y/dx2 + y = cosec x 140 6.10.1 Aufgabenbeschreibung 140 6.10.2 Lösungsweg 140 6.11 ODE – Lösung von d2 y/dx2 + y = f(x) 142 6.11.1 Aufgabenbeschreibung 142 6.11.2 Lösungsweg 142 6.12 ODE – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 144 6.12.1 Aufgabenbeschreibung 144 6.12.2 Lösungsweg 145 6.13 ODE – Lösung von d2 u/dx2 = x 148 6.13.1 Aufgabenbeschreibung 148 6.13.2 Lösungsweg 148 7 Di erenzialgleichungen und Finite Elemente 153 7.1 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 1’ter Ordnung 153 7.2 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 2’ter Ordnung 154 7.3 Finite Elemente 158 8 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode 161 8.1 Grundprinzip der Momentenmethode (MOM) 161 8.2 Anmerkungen zur Momentenmethode 163 8.2.1 Matrix (ljk) 163 8.2.2 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen n und wk 164 8.3 Zur Person Boris Galerkin 164 8.4 Galerkins Idee 165 9 Traditionelle Galerkin-Methode 167 10 Galerkin-Methode – Lösung von du/dx = u 169 10.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 169 10.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 170 10.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 171 10.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 171 11 Galerkin-Methode – Lösung von d2 u/dx2 = 4x2 + 1 175 11.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 175 11.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 176 11.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 176 11.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 178 12 Galerkin-Methode – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 181 12.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 182 12.2 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 182 12.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 183 12.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 183 13 Galerkin-Methode – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 185 13.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 185 13.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 186 13.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 187 13.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 188 14 Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz 191 14.1 Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters 193 14.1.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 193 14.1.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 194 14.1.3 Lösung des linearen Gleichungssystems 195 14.2 Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz Außenbereich des Leiters 196 14.2.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 196 14.2.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 197 14.2.3 Lösung des linearen Gleichungssystems 198 14.3 Gegenüberstellung von FEM- mit Galerkin-Ergebnis 199 15 Galerkin-FEM 201 15.1 Galerkin-FEM – Was wird gelöst? 201 15.2 Galerkin-FEM – Vorgehen zur Lösung 202 16 Galerkin-FEM – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 205 16.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 206 16.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 207 16.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 207 16.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x) 209 16.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 210 16.6 Lösung des linearen Gleichungssystems 214 17 Galerkin-FEM – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 217 17.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 218 17.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 219 17.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 219 17.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x) 219 17.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 219 17.6 Lösung des linearen Gleichungssystems 220 18 Galerkin-FEM – Elektrostatische Feldberechnung 223 18.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 223 18.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 224 18.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 224 18.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x) 224 18.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 226 18.6 Lösung des linearen Gleichungssystems 228 19 Galerkin-FEM – Ortsabhängige Temperaturberechnung 231 19.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 231 19.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 233 19.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 233 19.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x) 233 19.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 234 19.6 Lösung des linearen Gleichungssystems 235 19.7 Di usionsvorgang vollendet 238 20 Galerkin-FEM – Ortsabhängige Magnetfeldberechnung 241 20.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung 241 20.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 243 20.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion 243 20.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x) 243 20.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 244 20.6 Lösung des linearen Gleichungssystems 245 21 Einführung in die Finite-Di erenzen-Methode 251 21.1 Numerische Notation der linearen Felddi usionsgleichung 251 21.2 Zu den Personen Crank und Nicolson 252 21.3 Lösung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson 252 21.3.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung 253 21.3.2 Lösung der Matrizengleichung 254 21.3.3 Anwendungsbeispiel 257 21.4 Lösung mit expliziter Methode 260 21.4.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung . 260 21.4.2 Lösung der Matrizengleichung 261 21.4.3 Anwendungsbeispiel 262 22 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung 269 22.1 Analyse eines Proportionalmagnets 269 22.1.1 Preprocessing 270 22.1.2 Processing 271 22.1.3 Postprocessing 272 22.2 Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenläufermotors 273 22.2.1 Preprocessing 273 22.2.2 Processing 273 22.2.3 Postprocessing 274 22.2.4 Musterbau des planaren Asynchronmotors 274 23 Virtuelle Produktentwicklung 277 23.1 Kopplung zwischen FEM- und Optimierungstool 277 23.2 Mehrzieloptimierung – Pareto-Optimierung 278 23.3 Optimierungsbeispiel Elektromagnet 279 23.3.1 Monte Carlo-Methode 280 23.3.2 Partikelschwarm-Methode 282 23.3.3 Evolutionäre Methode . 282 23.3.4 Diskussion der Ergebnisse 283 24 Eigenwertprobleme 285 24.1 Eigenwertproblem – Einführung 285 24.2 Eigenwertproblem – Momentenmethode 286 24.3 Eigenwertproblem – kanonische Form 287 25 Eigenwertproblem-MOM – Lösung von d2 u/dx2 = u 289 25.1 Aufgabenbeschreibung 289 25.2 Lösungsweg und Lösung 290 25.3 Lösung für 1’ter Ordnung 290 25.4 Lösung für 2’ter Ordnung 294 26 Gemeinsamkeiten von Methoden zur Lösung von DGLs 297 26.1 Momentenmethode (MOM) 297 26.2 Integraltransformation 299 26.3 Green’sche Methode 300 27 Wissenswertes zur Modellbildung 303 27.1 Kategorien der Modellbildung 303 27.2 Analytik contra Numerik . 304 28 Nützliche Normen 307 Literaturverzeichnis 311 A Anhang 317 A.1 MATLAB-Code – Wärmedi usionsskript 317 A.2 MATLAB-Code – Magnetfelddi usionsskript 321 A.3 Toolvergleich – MATLAB vs. COMSOL 327 B Campus Künzelsau – Inside 329 Index 331